Taban Aritmetiği

Taban Aritmetiği

Herhangi bir sayı sisteminden Onluk sayı sistemine geçiş Herhangi bir sayı sisteminden Onluk sayı sistemine geçebilmek için, basamak (hane) çözümlemesi yapılmalıdır. n, bir sayı sisteminin tabanını göstermek üzere n >= 2 olacak şekilde bir doğal sayı ise, (abcde)n sayısı onluk sayı sistemine şöyle dönüştürülür.

Örnek: (218)9 = ( ? )10 taban dönüşümünü yapalım.
81 9 1
( 2 1 8 )9 = 92.2 + 91.1 + 90.8
= 81.2 + 9.1 + 1.8
= 162 + 9 + 8
= 179
Örnek: (305)7 = ( ? )10 taban dönüşümünü yapalım.
49 7 1
( 3 0 5)7 = 72.3 + 71.0 + 70.5
= 49.3 + 7.0 + 1.5
= 147 + 0 + 5
= 152

Onluk sayı sisteminden Diğer sayı sistemlerine geçiş
Onluk tabandaki bir sayı diğer tabanlara çevrilirken geçilmesi istenen taban hangi taban ise, onluk tabandaki sayı o sayıya bölünmelidir. Bölme işlemi, bölümdeki sayı taban sayısından küçük olana kadar yapılmalıdır. Yeni tabandaki sayı, en sondan başlanarak önce bölüm sonra da kalanlar sırasıyla yazılarak elde edilir.

Onluk taban dışındaki bir tabandan başka bir tabana geçiş
Verilen sayı önce Onluk tabana çevrilir. Sonra da Onluk tabandaki sayı, geçilmek istenen tabana dönüştürülür. Yani, n verilen taban ve m istenen taban ise, dönüşümün mantığı şu şekildedir:

Örnek: (1011)2 = ( ? )7 taban dönüşümünü yapalım.

Önce 2 tabanındaki 1011 sayısını Onluk tabana çevirelim.

8 4 2 1

( 1 0 1 1 )2 = 23.1 + 22.0 + 21.1 + 20.1 = 8.1 + 4.0 + 2.1 + 1.1

= 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Şimdi de Onluk tabandaki 11 sayısını 7 tabanına çevirelim. 11 sayısını, 7′ ye böldüğümüzde, bölüm 1 ve kalan da 4 olacağından,

(11)10 = (14)7

sonucunu elde ederiz. Dolayısıyla, (1011)2 = (14)7 olarak bulunur.

Onluk taban dışındaki tabanlardaki sayıların tekliği veya çiftliği:

Sayının tabanı çift ise, sayının son rakamına (birler basamağındaki rakamına) bakılarak karar verilir. Şayet sayının son rakamı çift ise, sayı çifttir. Şayet sayının son rakamı tek ise, sayı tektir. Örneğin, (12345)8 = Tek, (1236)8 = Çift olur.

Sayının tabanı tek ise, sayının rakamları toplamına bakılarak karar verilir. Şayet sayının rakamları toplamı çift ise, sayı çifttir. Şayet sayının rakamları toplamı tek ise, sayı tektir. Örneğin, (234)7 = Tek, (2361)7 = Çift olur.

Onluk taban dışındaki tabanlarda aritmetik işlemler:

Toplama işlemi

Örnek: (101)2 + (11)2 = ( ? )2

( 1 0 1 )2

+ ( 1 1 )2

__________

( 1 0 0 0 )2

ikilik tabanda 1 ile 1′ in toplamı 10′ dır. Dolayısıyla, ilgili basamağa 0 yazılır ve 1 sayısı bir önceki basamağa eklenir.

Örnek: (234)5 + (143)5 = ( ? )5

Birler basamağının toplamı, 4 + 3 = 7′ dir. 7, 5 tabanında 12′ dir. Dolayısıyla, birler basamağına 2 yazıp, beşler basamağına 1 ekleriz.

Beşler basamağının toplamı, 3 + 4 + 1 (birler basamağından eklenen) = 8 olur. 8, 5 tabanında 13′ tür. Dolayısıyla, beşler basamağına 3 yazıp, yirmibeşler basamağına 1 ekleriz.

Yirmibeşler basamağının toplamı, 2 + 1 + 1 (beşler basamağından eklenen) = 4 olarak bulunur.

Sonuç olarak, toplam (432)5 olur.

Çıkarma işlemi
Örnek: (132)5 – (23)5 = ( ? )5

Birler basamağının farkı, 2′ den 3 çıkartılamayacağı için, beşler basamağından 1 alınmalıdır (yani, 5 alınmalıdır). Bu durumda, 7′ den 3 çıkartılarak 4 bulunur.

Beşler basamağından 1 alındığı için, burada 2 kalmıştır. Böylece, 2′ den 2 çıkartıldığında 0 kalır.

Yirmibeşler basamağındaki 1 sayısından birşey çıkartılmadığı için aynen alınır.

Sonuç olarak, fark (104)5 bulunur.

Çarpma işlemi

Örnek: (144)5 x (23)5 = ( ? )5

(144)5 x (23)5 = (144)5 x (3)5 + (144)5 x (2)5 = ( 1 0 4 2 )5

+ ( 3 4 3 )5

= ( 1 0 0 2 2 )5

Çarpma işleminin mantığı, onluk tabandaki çarpma işlemine çok benzer. 5 tabanındaki 144 ile 3′ ün çarpımı şöyle yapılır:

Birler basamağı
4 ile 3′ ün çarpımı 12′ dir. Birler basamağına 2 yazılır ve 10 sayısının içinde 5 sayısı 2 tane olduğu için, beşler basamağına 2 aktarılır.

Beşler basamağı
4 ile 3′ ün çarpımı 12′ dir ve buna birler basamağından aktarılan 2 sayısı da ilave edilerek 14 elde edilir. Beşler basamağına 4 yazılır ve 10 sayısının içinde 5 sayısı 2 tane olduğu için, yirmibeşler basamağına 2 aktarılır.

Yirmibeşler basamağı
1 ile 3′ ün çarpımı 3′ tür ve beşler basamağından aktarılan 2 sayısı da ilave edilerek 5 elde edilir. 5 tabanında 5, 10 olduğu için yirmibeşler basamağına 0 ve yüzyirmibeşler basamağına da 1 yazılır.

Örnek
( 25m0 )6 = ( 642 )10 ise, m =
216 36 6 1
( 2 5 m 0 )6 = ( 642 )10
216.2 + 36.5 + 6.m + 1.0 = 642
432 + 180 + 6m + 0 = 642
612 + 6m = 642
6m = 642 – 612
6m = 30
m = 5

Örnek
( 102 )m + ( 145 )m = ( 251 )m ise, m = ?
m2 m 1 m2 m 1 m2 m 1
( 1 0 2 )m + ( 1 4 5 )m = ( 2 5 1 )m
( m2.1 + m.0 + 1.2 ) + ( m2.1 + m.4 + 1.5 ) = m2.2 + m.5 + 1.1
m2 + 2 + m2 + 4m + 5 = 2m2 + 5m +1
2m2 + 4m + 7 = 2m2 + 5m + 1
4m +7 = 5m + 1
7 – 1 = 5m – 4m
6 = m

Örnek
( 124 )5 + ( 103 )5 = ( m2n )7 ise, m = ?
( 124 )5 + ( 103 )5 = ( 232 )5 bulunur. ( 232 )5 sayısını onluk tabana çevirelim.
25 5 1
( 2 3 2 )5 = 25.2 + 5.3 + 1.2 = 50 + 15 + 2 = 67 olur.
Şimdi de onluk tabandaki 67 sayısını 7′ lik tabana çevirelim.

67-7 = 7.9 + 4 olur. Bölüm 9 ve kalan 4 dir.

9-7 = 7.1 + 2 olur. Kalan 2 ve bölüm 1 olur. En sondaki bölümle kalanlar tersten yazılarak, ( 67 )10 = ( 124 )7 bulunur.

Buradan
( m2n )7 = ( 124)7
olduğundan, m = 1 bulunur