Kartezyem Çarpımı Nedir
A. SIRALI n Li
n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a, b) sıralı ikilisinde
a : Birinci bileşen
b : ikinci bileşendir.
a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır.
(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir
*
B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
A x B = {(x, y) : x i A ve y i B} dir.
A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır.
C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELiKLERi
** I)* s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.
* II) A x (B x C) = (A x B) x C
*III) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)
*IV) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)
* V) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)
*VI) A x Æ = Æ x A = Æ
VII)
D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.
b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) i A x B} dir.
*
** s(A) = m ve s(B) = n ise,
*** A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.
** A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.
** s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
*** A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı
** b Ì A x B olmak üzere,
*** b = {(x, y) : (x, y) i A x B} bağıntısının tersi
*** b-1 Ì B x A dır.
*** Buna göre, b bağıntısının tersi
*** b-1 = {(y, x) : (x, y) i b} dır.
E. BAĞINTININ ÖZELiKLERi
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
1. Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) i b ise, b yansıyandır.
“x i A için, (x, x) i b ª b yansıyandır.
2. Simetri Özeliği
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) i b ise, b simetriktir.
“(x, y) i b için (y, x) i b ª b simetriktir.
** b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir.
** s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.
** s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n.n – n) dir.
3. Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ¹ y iken “(x, y) i b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.
b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.
4. Geçişme Özeliği
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
olmalı
b bağıntısının geçişme özelliği vardır.
*
F. BAĞINTI ÇEŞiTLERi
1. Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
b Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.
* *b denklik bağıntısı ve (x, y) i b ise, x denktir. y ye denir.
*** x º y biçiminde gösterilir.
** b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.
*** biçiminde gösterilir.
*** Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,
*** = {y : y i A ve (a, y) i b} olur.
2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.