ikinci Dereceden Denklemler

admin

13 sene önce

ikinci Dereceden Denklemler

ikinci Dereceden Denklemler? ikinci Dereceden Denklem? Denklem Ne Demek?

ikinci Dereceden Denklemler MÖ 2000’lerde Mezopotamyalılar ikinci dereceden denklemlerin pozitif kökünü (çözümünü) bulmak için algoritma geliştirmişlerdi. Mısırlıların da MÖ 2160-1700 tarihleri arasında ikinci dereceden denklemlerin kökünü bulmayı bildikleri Berlin papirüsünden anlaşılıyor.Ama o zamanlar daha “denklem” kavramı gelişmemişti ve gerçek yaşamdan alınan problemlerde ortaya çıkan, dolayısıyla pozitif kökleri (genellikle bir uzunluk) olan denklemlerle uğraşılırdı.

Yunanlılar MÖ 300 yıllarında ikinci dereceden bir denklemi geometrik yöntemlerle çözebiliyorlardı. Yunanlılar için de bir sayı daha çok bir uzunluktu. Yunanlı Diofantus ikinci dereceden denklemleri çözebiliyordu, ama köklerden sadece birini buluyordu, köklerin her ikisi de pozitif olduğu zaman bile.

Hintli Aryabhata her iki kökü birden bulmasını biliyodu. Ama bu bilgi daha sonra unutulmuşa benziyor, çünkü Brahmagupta köklerden sadece birini bulabiliyormuş gibi bir intiba bırakmıştır. Mahavira en azından pozitif kökü bulmayı mutlaka biliyordu, Sridhara da öyle.

Türk Harizmi ve iranlı Ömer Hayyam da pozitif kökü bulmayı biliyorlardı. Ömer Hayyam ayrıca üçüncü dereceden bir denklemin birden fazla kökü olabileceğini de biliyordu. 1000 yıllarında Araplar ax2n+bxn+c=0 denklemini ikinci dereceden bir denkleme indirgeyebiliyorlardı.

ispanyol Abraham bar Hiyya-Ha-Nasi ya da Savasorda ikinci dereceden denklemlerin çözümünü Batı’da ilk kez yayımlayan kişi olarak bilinir (Liber Embadorum kitabında.) Viéte (1540-1603), geometrik yöntemler yerine cebirsel yöntemleri kullanan ilk Batılı matematikçi olmuştur. Al-Harazmi bunu çok daha önceden biliyordu.

Çözümü Çarpanlara Ayırma

Bu yöntem, denklem kolayca çarpanlarına ayrılabiliyorsa tercih edilir. Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Örneğin

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/a/9/c/a9c43cc9b2c274ce113e2f35d2c16471.png" alt="x^2-8x+12=0" width="143" height="20">

denkleminde çarpımları 12, toplamları -8 olan sayılar bulunur. Bu sayılar -6 ve -2 dir. Denklem şu şekilde yeniden yazılır:

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/e/f/6/ef6b28ab4b3b51e9e9b579a23ed11444.png" alt="(x-6)(x-2)=0" width="155" height="21">

Buradan x=6 ve x=2 bulunur.

Kareye Tamamlama Ve Diskriminant

Bu yöntemi anlamak için aşağıdaki eşitliği bilmek gerekir,

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/c/3/9/c3901bcb1e1d14cff02648f4655bd4a7.png" alt="x^2+2xh+h^2 = (x+h)^2.\,\!" width="218" height="23">

Denklemimiz şu şekildeydi

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/f/c/6/fc6366dd1fd484528b085dff42ba1027.png" alt="ax^2+bx+c=0 \,\!" width="140" height="20">

x²‘nin katsayısını 1 yapmak için denklemi a’ya bölelim (ilk başta a≠0 aldığımız için bu işlem yapılabilir)

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/f/e/d/fed9229c07a2e81cb7817be3110fd9ae.png" alt="x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!" width="146" height="41">

ya da

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/1/4/3/1435e1a582704849186cd188263a9b33.png" alt="x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}." width="128" height="41">

Kareye tamamlamak için ortadaki terimin katsayısının yarısının karesi sabit sayıyı oluşturmalıdır. Bu yüzden her iki tarafa gereken ifadeyi ekleyelim

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/4/4/7/4471fb30ea50e8ea48fb8f56656972a6.png" alt="x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2,\!" width="303" height="54">

şimdi sol taraf kare şeklinde yazılmaya hazır

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/9/c/0/9c0a92b1bdc2333469c9414b7fa18161.png" alt="\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.\,\!" width="206" height="54">

Şimdi sağ tarafın paydasını eşitleyelim

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/6/e/e/6ee0ac4d5fad8cdfa2ddd45a843e7541.png" alt="\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}." width="193" height="54">

Her iki tarafın da karekökünü alalım. Karekökün özelliğinden dolayı ifade ± şeklinde çıkar

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/a/d/8/ad888a142382896b3621905160b3e441.png" alt="x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}." width="201" height="44">

x’i çekersek

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/2/4/5/2457d876f01f1fabe5b0a25e4601a815.png" alt="x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}." width="372" height="44">

elde edilir.

Diskriminant

Dsikriminant için örnek durumlar
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Ana madde: Diskriminant

Yukarıda bulunan ifadedeki $<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/7/f/9/7f9d0da2270d75e0c62285e498c152bf.png" alt="b^2-4ac" width="70" height="19">$ ‘ye denklemin diskriminantı ya da deltası denir. Diskriminant denklem hakkında fikir edinmemizi sağlar

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/6/8/3/6835638670fb4ab74a039c741644fc89.png" alt="\Delta = b^2 - 4ac.\," width="116" height="19">

Eğer,

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/2/3/1/23114ae935ac52c2fcf8bd7aff30b936.png" alt="\Delta&gt;0" width="52" height="14">

ise denklemin iki gerçek kökü vardır.

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/f/a/d/fad8e0c6904c7c0d09150c54207dbf06.png" alt="\Delta&lt;0" width="52" height="14">

ise gerçek kök yoktur, karmaşık kök vardır.

<img decoding="async" src="https://upload.wikimedia.org/math/b/d/b/bdbbdd50f07e9fa49eb834e048576756.png" alt="\Delta=0" width="52" height="14">

ise tek bir gerçek kök denir, kimi zaman buna daburut da denir.