Doğal Sayılar Tanımı

Doğal Sayılar Tanımı

0, 1, 2, 3, … , 50, … devam eden sayılara doğal sayılar denir.
Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir.
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
ikinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir.
n bir doğal sayı iken;
Çift doğal sayılar : 2
Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir.
Sayma Sayıları
Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir.
S = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Sayı Doğrusu

Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir.

Onluk Sayma Düzeni

Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir. Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik gibi gruplara ayrılır. Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir. Örneğin, 2543 sayısı içinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır.

Rakam

Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir.
Rakamlar kümesi : R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olarak tanımlanır.
Onluk sistemde on tane rakam kullanılır.

Basamak Değeri

Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir.
Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir.

Sayı Değeri

Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir.

Çözümleme

Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, … varsa bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir.

2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +
10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Gruplama

Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir.

2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya
= 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik

Sayıların Üslü Biçimde Gösterilmesi Üslü Sayıların Okunuşu

4 4 üssü 2 (4’ün karesi, 4’ün ikinci kuvveti)
5 5 üssü 3 (5’in kübü, 5’in üçüncü kuvveti)
3 3 üssü 4 (3’ün dördüncü kuvveti)

Üssün Anlamı

Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir.

10 = 10 x 10 = 100
5 = 5 x 5 x 5 = 125
4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256
3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

Üslü Sayıların Özellikeri

Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir. 3=3, 7=7, 10=10, 15=15
Üssü 0 olan sayı 1’e eşittir. 80=1, 9=1, 160=1, 0=1
Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir. 7=7, 1000=1000, 64=64, 1=1
1 sayısının bütün kuvvetleri 1’e eşittir. 1=1, 1=1, 1=1
Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır.

Üslü Bicimde Çözümleme

Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10’un üssü şeklinde yazılır.

5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)
=(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)

Doğal Sayırlarda Sırlama

Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür. Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( < ) veya büyük ( > ) işareti konur.

Küçük < Büyük Büyük > Küçük

işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan küçüktür.

Dört İşlem Doğal Sayılarda Toplama

AB = olmak üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına toplama denir.
A={1,2} ve B={3, 4, 5} ise
s(A) + s(B) = s(AB) = 2 + 4 = 6
Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir. işlemin sonucuna da toplam denir.
Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır. Aynı türden ve birimleri aynı olan çokluklar toplanabilir.

Toplama İşleminin Özeliikleri Kapalılık Özelliği

iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Buna kapalılık özelliği denir.

3D, 4D için 3 + 4 = 7D dir.
9D, 13D için 9 + 13 = 22D dir.
aD, bD için (a + b)D dir.

Değişme Özelliği

Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez. Buna toplamada değişme özelliği denir.
3 + 5 = 8 = 5 + 3
aD, bD ise; a + b=b + a dir.

Birleşme Özelliği

Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez. Bu özelliğe
toplama işleminin birleşme özelliği denir.

3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6 3 + 10 = 7 + 6 13 = 13
aD, bD, cD ise (a + b) + c = a + (b + c) dir.

Çok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır.

Etkisiz (Birim) Eleman

Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir.

5 + 0 = 5
0 + 6 = 6

Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0’dır.

Doağl Sayırlada Çıkarma

A = {a,b,c,d,e} B = {d,e}
s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir.
s(A) – s(B) = s(C)
5 – 2 = 3 olarak gösterilir. Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır.

B A ise A – B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir. Bu farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir.

Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır. Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde yapılır. Çıkarma işlemi toplamanın tersidir.

Çıkarma İşleminin Özellikleri

Kapalılık özelliği yoktur. 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir.
Değişme özelliği yoktur. 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir.
Birleşme özelliği yoktur. 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0
Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur. 3-0=3 olmakla beraber 0-3 3’tür.

Doğal Sayırlarda Çarpma

Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kümeleri için s(A)=a, s(B)=b ve s(A ) x s( B)=m ise, m doğal sayısına a ile b’nin çarpımı denir. m=a x b biçiminde gösterilir. Çarpma işareti ( x ) ya da( . )’ dır.

Çarpmaİşleminin Özellikleri Kapalılık Özelliği

iki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir.

Değişme Özelliği

Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez. Bu duruma çarpmanın değişme özelliği denir.

4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4’tür.
aD, bD için; a x b = b x a ‘dır.

Birleşme Özelliği

Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir.

4D, 5D, 2D için
4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40’tır.

Etkisiz (Birim) Eleman

Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez. 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.

1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5’dir.
aD için a x 1=1 x a=a ‘dır.

YUtan Elaman

Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir.

4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 ‘dır.
aD için 0 x a=a x 0=0 ‘dır.

Çarpmanın Toplama Ve Çıkarma Üzerine Dağılma Özelliği

aD, bD, cD için a x (b + c)=(a x b) + (a x c) ve
aD, bD, cD için a x (b-c)=(a x b) – (a x c) ‘dir.
Bu özelliğe, çarpmanın toplama ya da çıkarma üzerine dağılma özelliği denir.

Çarpmada Kolaylıklar

Bir sayıyı 10, 100, 1000, … ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, … sıfır yazılır.

• 14 x 10 = 140
  16 x 100 = 1600
  22 x 1000 = 22000
  7 x 10000 = 70000

Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, sayı 100 ile çarpılır. Çarpım 4’e bölünür.

25 x 36=(36 x 100)/4=900
Bir sayı 50 ile çarpılırken, sayı 100’le çarpılır, çarpım 2’ye bölünür.

78 x 50=(78 x 100)/2=7800/2=3200

Bir sayı 5’le çarpılırken, sayı 10’la çarpılır sonra 2’ye bölünür.

89 x 5=(89 x 10)/2=890/2=445
Bir sayı 9’la çarpılırken, sayı 10’la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır.

56 x 9=(56 x 10)-56, 560-56=504

Doğal Sayılarda Bölme

aD, bD ve b0 olmak üzere, a x b=c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a’nın b’ye bölümü denir. a/b=c veya a:b=c olarak gösterilir.

Bölmenin Sağlaması

Sağlama işlemi, Bölünen = (bölen x bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır.

Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir.

Bölme işleminin Özellikleri

Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur.

4D, 3D için 4/3=doğal sayı değildir.

Bölme işleminin doğal sayılarda değişme özelliği yoktur.

5D, 15D için, 15/5 5/15

Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.

(24/4)/2 24/(4/2) 6/2 24/2 3 12
Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.
2/1 1/2 2 0,5
Bir doğal sayının 1’e bölümü kendisine eşittir.
aD için a/1=a dır. 1/1=1, 39/1=39, 3/1=3, 101/1=101
Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır.
0/a=0 ‘dır. 0/4=0, 0/100=0, 0/15=0
0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1’e eşittir.
aD için a/a=1 ‘dir. 6/6=1, 109/109=1, 10/10=1, 88/88=1
Bir doğal sayı sıfıra bölünemez.
5/0=tanımsız, 12/0=tanımsız
Bir sayıyı 10, 100, 1000 … ile bölmek

10’a bölerken bir sıfır silinir. 400/10 = 40
100’e bölerken iki sıfır silinir. 200/100 = 2
1000’e bölerken üç sıfır silinir. 3000/1000 = 3