Matematikte Bölme işlemi Nedir? Matematikte Bölme?

Matematikte Bölme işlemi Nedir?

A. BÖLME
A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

Bölme İşleminde

• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
  A = B . C + K dır.
  Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
  Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.
  K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. Bölünebilme Kuralları

1. 2 ile Bölünebilme

Matematikte Bölme işlemi Nedir? Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 ile Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 ile Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

l.abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 ile Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 ile Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 … a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k i Z olmak üzere
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + … = 7k olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, … olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + … işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 ile Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c onlar basamağı b, yüzler basamağı a, … olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.

7. 9 ile Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 ile Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 ile Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… = 11 . k

ve k i Z olmalıdır.
(n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.
3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. Bölen Kalan ilişkisi

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.

• Buna göre;
  A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.
  A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.
  D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.
  AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

D.Çarpanlar ile Bölüm

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E.Bir Tam Sayının Tam Bölenleri

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

• A = am . bn . ck olsun
  A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
  A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
  A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.
  A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
  A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :
  A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
  A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.
  A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı

 

Matematikte Bölme işlemi Nedir?